Ecuación de Stieber: Ideal para formaciones laminadas y mixtas, este modelo ajusta el volumen de arcilla al considerar la proporción de arena y arcilla en las formaciones. Aunque empírica, ha demostrado ser una herramienta poderosa en la interpretación de registros

$ V_{sh} = \frac{V_{cl}}{0.5+0.5*V_{cl}} $

Ecuación de Clavier: Si lo que buscamos es una corrección más compleja, Clavier nos ofrece un modelo exponencial que refina el cálculo, reduciendo el margen de error cuando las arcillas presentan comportamientos no lineales.

$ V_{sh} = 1.7 - \sqrt{3.38 - (V_{cl} + 0.7)^2} $

Ecuación de Stieber modicada: Este modelo ajusta el volumen de arcilla en formaciones con arcillas laminadas, corrigiendo la sobreestimación que ocurre con el modelo lineal.

$ V_{sh} = \frac{V_{cl}}{2+(2*V_{cl})} $

Ecuación de Stieber y Amyx: Estos modelos adaptan las ecuaciones básicas para casos específicos, como formaciones laminadas o arcillas dispersas. En formaciones donde la mezcla de arena y arcilla es constante, estas fórmulas nos brindan mayor precisión.

$ V_{sh} = \frac{V_{cl}}{(1.5+V_{cl})} $

La curva de rayos gamma, ha sido seccionada de acuerdo con la litología correspondiente, siguiendo las líneas base que establecimos:

Arena (Amarillo Oscuro):  Estos valores indican la presencia de formaciones arenosas, las cuales suelen tener bajos valores de rayos gamma debido a la escasa cantidad de minerales radiactivos.

Arcilla (Verde Oscuro): Estos valores indican la presencia de formaciones arcillosas, que típicamente exhiben altos valores de GR debido a la abundancia de minerales radiactivos como el potasio.

Arena Arcillosa (Amarillo Verdoso): La zona intermedia, donde los valores de GR se encuentran entre las líneas base de arena y arcilla, se ha colocado en un tono amarillo verdoso. Esto representa las formaciones de arena arcillosa, que contienen una mezcla de ambos tipos de litología, reflejando una transición entre formaciones arenosas y arcillosas.

Según Yilmaz (2001)[1], la deconvolución comprime a la ondícula básica en el sismograma grabado, atenúa reverberaciones y múltiples de periodo corto, con lo cuál se mejora la resolución vertical (Temporal), al producir una representación de la reflectividad del subsuelo. El proceso es aplicado antes del apilado de los "gathers", aunque tambié es aplicado en datos apilados.

La deconvolución vista como un proceso de filtrado cuenta con dos áreas básicas: estimación de parámetros e identificación de estado.

En concreto, lo que se tiende a hacer con la deconvolución es minimizar el efecto de la convolución, pero no se puede suprimir del todo para llegar a la información pura.

Los procedimientos matemáticos asociados a la deconvolución descansan por lo general sobre varias hipótesis en común con el modelo convucional:

• Modelo de capas horizontales con velocidades constantes e incidencia normal.
• Una onda sísmica estacionaria (su forma no cambia durante la propagación)
• La ondícula sísmica es de fase mínima, en el caso de la deconvolución spiking

 Modelo  convolucional

La traza sísmica representa la respuesta del campo de ondas elásticas a la velocidad y los contrastes de densidad a lo largo de las interfases de los estratos de sedimentos, a medida que la energía viaja a través del subsuelo.

En cada límite de estrato una proporción de la energía incidente se refleja y otra se refracta. Entonces si colocamos en superficie un detector, comúnmente denominado geófono, podemos registrar la onda reflejada e intentar dilucidar qué perturbaciones la modificaron en su viaje por el subsuelo (de allí que la sísmica que estudiamos sea denominada sísmica de reflexión). La proporción de la onda que llega a superficie está determinada por el contraste de impedancias acústicas (Velocidad x densidad) de los dos estratos. La siguiente figura muestra la relación entre la estratificación geológica, la variación de la impedancia acústica y los coeficientes de reflexión; en función de la profundidad.

Para ententer el fenómeno de respuesta del subsuelo con la fuente producida, se propone un supuesto en donde la forma del pulso emitido por la fuente se mantiene sin cambios (algo no real). A medida que se propaga a través de un suelo estratificado, la resultante traza sísmica puede ser considerada como la interacción del pulso de entrada (Ondícula de la fuente) con una serie de tiempo conocida como una función de reflectividad compuesta de una serie de picos (coeficientes de reflexión), que son los mismos picos vistos en la figura anterior pero ahora en el eje del tiempo. A esa interacción entre el pulso de entrada y la reflectividad, se lo conoce matemáticamente como convolución.

Cada pico tiene una amplitud relacionada con el coeficiente de reflexión de un límite de estrato y un tiempo de viaje equivalente al tiempo que le toma a la onda ir de la fuente al reflector y retornar hasta el geófono (denominado tiempo doble de viaje). Esta serie de tiempo representa la respuesta del impulso del suelo en estratos. Dado que el pulso (Ondícula de la fuente o "Input pulse") posee una longitud finita, nótese que reflexiones muy cercanas entre sí (las inferiores), se superponen en el tiempo en la resultante traza sísmica ("Seismic trace"):

El primer conjunto de suposiciones que se usa para construir el modelo es:

A) la Tierra está formada por estratos horizontales de velocidad constante.
B) la fuente genera una onda plana de compresión que incide en los límites de estratos
en incidencia normal (no se generan ondas S o de cizalla).

Se puede imaginar que la suposición A), no se cumple tanto en áreas estructuralmente complejas como en áreas con grandes cambios de características geológicas laterales. Y el supuesto B), implica que nuestro modelo de traza sísmica a construir, se basa en un registro idealmente vertical donde la fuente y un geófono que registra, se ubican en el mismo lugar (denominado desplazamiento cero o cero offset), algo que es materialmente imposible. Sin embargo, tomamos ambas suposiciones como premisas para poder continuar con nuestro modelo. Siempre es importante conocer las limitaciones de cada modelo, para poder tener un buen criterio a futuro de cuánto hemos de fiarnos del mismo.

La combinación de los supuestos A) y B), implica un sismograma (representación de la traza sísmica) unidimensional (1D) de incidencia normal. Basados en estas dos premisas se define al coeficiente de reflexión como:

$ Coeficiente = \frac{Z_{2} - Z_{1}}{Z_{2} - Z_{1}} $ 

donde Z es la impedancia sísmica asociada a cada estrato generada a partir del producto entre la densidad (𝜌) y la velocidad compresional (𝜈) propias de la litología.

De los registros de pozo, observamos que la variación de la densidad 𝜌 entre estrato y estrato, es siempre mucho menor que las velocidad 𝜈. Es por eso que generalmente se asume que la variación de impedancia entre estratos es esencialmente debido al contraste de sus velocidades. Simplificamos entonces la ecuación anterior. Si V2 es mayor a V1, el coeficiente de reflexión será positivo. En caso de que V2 sea menor a V1, entonces será negativo.

Recordemos que para la incidencia vertical, el coeficiente de reflexión es la relación entre la amplitud de la onda reflejada y la amplitud de la onda incidente, que generó a esa reflejada. Por lo tanto, las amplitudes sísmicas asociadas con los modelos terrestres con estratos horizontales e incidencia vertical (supuestos A y B) están relacionadas con las variaciones de impedancia acústica del subsuelo.

Veamos ahora cómo es que se genera una traza sísmica en el dominio del tiempo, y cómo obtenemos de estas trazas finalmente la imagen sísmica. Se puede proponer un modelo convolucional para el sismograma registrado. Para esto, primero asumimos la tercer suposición, después de las ya vistas

C) la forma de onda introducida por la fuente no cambia a medida que se desplaza en el subsuelo, es estacionaria.

Supongamos ahora sí, que una onda plana descendente que llamaremos W(t) se propaga verticalmente desde la fuente en profundidad y se encuentra con un límite de estrato geológico en un determinado tiempo de ida y vuelta a la fuente, tal como representamos en la figura más abajo. El coeficiente de reflexión asociado con el límite entre el estrato verde superior y el estrato azul está representado por el pico rojo en la columna del coeficiente de reflexión RC(t). Como resultado de la reflexión, la onda plana W(t) de la fuente se replica a sí misma en la cuarta columna (en trazo rojo) de tal manera que se escala con el coeficiente de reflexión que la afectó (rojo). Si tenemos más límites de estratos, ahora representados por los picos individuales azules, verdes y violetas en la columna RC(t), entonces la ondícula al continuar descendiendo por el subsuelo se replica a sí misma también en esos límites y la vemos graficada en la cuarta columna con sus colores correspondientes. Nótese que si el coeficiente de reflexión es negativo como el pico azul, entonces la ondícula se replicará con su polaridad invertida.

Ahora consideremos el conjunto de los coeficientes de reflexión RC(t), en la figura anterior. La respuesta general de la ondícula de la fuente en la cuarta columna a esta serie de picos dispersos, es una superposición de las respuestas de impulso individuales. Este proceso lineal se denomina principio de superposición y se logra computacionalmente mediante la convolución de la ondícula con la serie de reflectividad. En la quinta columna S(t), encontramos finalmente la suma de todas las trazas, y para visualizar mejor el dato final se rellena en color negro los valores positivos de amplitud de la traza.

La traza sísmica final S(t) del ejemplo, tiene algunas características interesantes. Se observa que para los límites de estratos superiores, coeficiente de reflexión rojo y azul en RC(t), identificamos nítidamente en S(t) los dos límites de estratos geológicos. Sin embargo, si queremos identificar de la misma forma los otros dos límites estratos inferiores estrechamente espaciados y representados por los coeficientes de reflexión color verde y violeta en RC(t), nos cuesta un poco más debido a que las amplitudes de cada evento se superponen como se observa en la cuarta columna, y los límites de estratos ya no son tan claros en S(t). Pensemos que si queremos conocer el subsuelo de un área que nos interesa, y realizamos una campaña sísmica, al final del trabajo la información con la que dispondré será únicamente la quinta columna: la traza sísmica S(t). Para estar entonces seguros que esos eventos inferiores son límites de estratos, deberemos de alguna forma sustraer la impronta de la ondícula de la fuente para poder observar cada uno de los picos de coeficiente de reflexión verde y violeta. Este proceso de sustracción, es lo contrario al proceso convolucional utilizado para obtener la respuesta de los coeficientes de reflexión con la ondícula, que es conocido commo deconvolución.

Matemáticamente, el modelo convolucional está dado por: 

$ {x_{t}} = {w_{t} *  cr_{t} *  n_{t}} $

donde x(t) es la traza sísmica en el dominio del tiempo, w(t) es la ondícula de la fuente, cr(t) es el coeficiente de reflexión, n(t) es el ruido ambiental aleatorio y el asterisco (*) denota convolución. El ruido ambiental aleatorio n(t) presente en una traza sísmica, puede deberse entre otras cosas, al viento o al tránsito de un vehículo durante la registración (a modo de simplificar la explicación, en el ejemplo de la figura anterior con estratos de colores no tuvimos
en cuenta este ruido).

Examinemos ahora cada uno de los miembros de la ecuación para el modelo convolucional. Lo que normalmente se conoce en la ecuación es x(t), ya que la traza sísmica es lo que registró el levantamiento sísmico. La respuesta de impulso de la Tierra cr(t) debe estimarse ya que se desconoce, excepto en lugares donde pueda tener un pozo con un registro sónico que pueda proporcionar esa información. Además, la forma de onda de origen w(t) normalmente es desconocida. Si bien se puede medir la ondícula con un sensor apenas sale de la fuente, lo que se mide en ese caso es sólo la forma de onda en el inicio de la excitación y no la onda que se registra finalmente en el geófono que ha sido modificada en todo su trayecto. Por último, no hay conocimiento a priori del ruido ambiental n(t).

Si hacemos un repaso, de la ecuación descrita del modelo convolucional tenemos: tres incógnitas w(t), cr(t) y n(t), una x(t) conocida y una sola ecuación: x(t) = w(t) * cr(t) + n(t). Para solucionar esto, solo se dejará como incógnica al elemento cr(t), y se asummen estas nuevas suposiciones (que se suman a A, B y C, antes vistas):

D) el componente de ruido n(t) es cero.
E) la ondícula de la fuente es conocida.

Bajo estas suposiciones, tenemos una ecuación: x(t) = w(t) * cr(t) + 0, donde los coeficientes de reflectividad cr(t) son los únicos desconocidos. ¿Ya podríamos conocer los estratos del subsuelo, objeto de todo nuestro método sísmico? Aún hay un problema: en la realidad la suposición E no es normalmente válida. Se proponne entonces examinar el modelo convolucional más a fondo para ver si se pueded encontrar alguna aproximación. Para ello, saldremos del dominio del tiempo (t) en el que veníamos trabajando, para pasar al dominio de la frecuencia (w). Pensemos que si pudiera conocer la ondícula de origen, entonces la solución al problema de deconvolución sería determinístico: si conozco la traza y conozco la ondícula, simplemente de la ecuación anterior despejo el coeficiente de reflexión. Por el contrario, desconociendo la ondícula (el caso más habitual), la solución al problema de la deconvolución es estadística.

Comencemos recordando que el modelo convolucional para una traza sísmica sin ruido (recordemos el supuesto D, donde consideramos que el componente de ruido n(t) es cero) se representa mediante la ecuación x(t) = w(t) * cr(t). Realizar una convolución en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicarla en el dominio de la frecuencia. Esto significa que el espectro de amplitud de una traza sísmica es igual al producto entre los espectros de amplitud de una ondícula y la respuesta de impulso de la Tierra (coeficientes de reflexión). Así definimos en el dominio de la frecuencia:

$ {Ax_{w}} = {Aw_{w} x  Acr_{w}} $

donde Ax(ω), Aw(ω) y Acr(ω) son los espectros de amplitud de x(t), w(t) y cr(t) respectivamente, en el dominio del tiempo.

La siguiente figura muestra en la parte superior, una serie de coeficientes de reflexión representados en el dominio del tiempo (a) y en el dominio de la frecuencia (b) (nótese que los coeficientes de reflexión que antes representamos con el tiempo en la vertical, ahora lo hacemos en la horizontal). En la parte media observamos una ondícula, en el dominio del tiempo (c) y en el dominio de la frecuencia (d). Y por último, en la parte inferior observamos la traza sísmica producto de la convolución del coeficiente de reflexión y la ondícula antes citados, en el dominio del tiempo (e) y en el dominio de la frecuencia (f).

La similitud en la forma general de los espectros de amplitud de la ondícula (d) y de la traza sísmica (f) es evidente. De hecho, una versión suavizada del espectro de amplitud de la traza sísmica sería muy similar al espectro de amplitud de la ondícula. Incluso, siempre hablando del dominio de la frecuencia, la traza sísmica en (f) podría dibujarse siguiendo la forma de la curva de la ondícula en (d) y sobre esa forma, imprimiendole los coeficientes de reflexión de (b).

En general, se piensa que la forma básica observada en el espectro de amplitud de una traza sísmica está asociada principalmente con la ondícula de la fuente, y que las rápidas fluctuaciones son una manifestación de la respuesta a los coeficientes de reflexión de la Tierra. Matemáticamente, la similitud entre los espectros de frecuencia de la ondícula y la traza sísmica, sugieren que el espectro de amplitud de los coeficientes de reflexión tendería a ser casi plano. Si observamos en la figura anterior ese espectro de amplitud (b), vemos que si bien no es plano, ocupa casi todo el ancho de banda del espectro.

Las observaciones anteriores realizadas sobre los espectros de amplitud implican que la reflectividad no es un proceso completamente aleatorio, pero se asemeja. Esto nos sirve para reemplazar la afirmación que realizamos en el supuesto E) la ondícula de la fuente es conocida, ya que como comentamos previamente esto casi nunca se cumple. El nuevo supuesto es

F) la reflectividad es un proceso aleatorio.

Este supuesto implica que la traza sísmica tiene las características de la ondícula, en cuanto a que como vimos sus espectros de amplitud son similares. Este supuesto es la clave para implementar la deconvolución predictiva. Permite que la autocorrelación (correlación cruzada de la señal consigo misma) de la ondícula sísmica que desconocemos, pueda sustituirse por la autocorrelación de la traza sísmica que ya conocemos. Al poder sustituirse, puedo calcular una ondícula aproximada w(t).

Es así que finalmente, teniendo en cuenta las suposiciones A, B, C, D, E y F, hemos podido llegar a una ecuación: x(t) = w(t) * cr(t) + 0, donde los coeficientes de reflectividad cr(t) son los únicos desconocidos.

Tipos de deconvolución

1. Deconvolución Espacial (o Lateral)

Principio Físico: Se basa en la correlación de señales sísmicas de trazas adyacentes en un perfil sísmico. Busca eliminar variaciones laterales de amplitud y fase que no son causadas por cambios geológicos.

Ventajas:

• Mejora la coherencia lateral de los eventos reflejados.
• Facilita la interpretación de eventos sísmicos continuos.

Desventajas:

• Puede ser sensible a variaciones geológicas reales, introduciendo artefactos.
• Requiere una densidad de muestreo adecuada para funcionar bien.

2. Deconvolución Predictiva

Principio Físico: Asume que las reverberaciones y los múltiples tienen una periodicidad predecible en la señal sísmica. Utiliza la autocorrelación para predecir y eliminar estos eventos no deseados.

 Ventajas:

•     Eficaz para eliminar múltiples de corto periodo
•     Aumenta la resolución temporal de la señal sísmica.

Desventajas:

• Puede fallar si los múltiples no son coherentes o si el periodo de predicción es incorrecto.
• Sensible al ruido, lo que puede afectar su efectividad.

3. Deconvolución Wiener (o de Mínimo Error Cuadrático)

Principio Físico: Minimiza la diferencia cuadrática entre la señal registrada y una señal objetivo, basándose en el conocimiento del espectro de ruido y la señal.

 Ventajas:

•     Robusta contra el ruido si se conoce su espectro.
•     Aumenta la claridad y resolución temporal.

Desventajas:

• Requiere conocimiento previo del espectro de la señal y del ruido.
• Puede ser menos efectiva si el ruido no es estacionario.

4. Deconvolución Inversa

Principio Físico: Calcula el filtro inverso de la respuesta de la fuente de onda sísmica, asumiendo que la ondícula de la fuente es conocido y constante.

 Ventajas:

•   Efectiva para recuperar la reflectividad del subsuelo cuando la ondícula es bien conocida.
•     Mejor resolución temporal si se aplica correctamente.

Desventajas:

• Altamente dependiente de la precisión de la ondícula de la fuente.
• Sensible a errores en la estimación de la ondícula.

5. Deconvolución Spiking (o de Pico)

Principio Físico: Intenta transformar la ondícula de la fuente en un impulso o spike, asumiendo que la señal de reflectividad del subsuelo es un tren de impulsos.

 Ventajas:

•     Aumenta significativamente la resolución temporal.
•     Es eficaz para destacar reflectores individuales.

Desventajas:

• Muy sensible al ruido y a la fase incorrecta de la ondícula.
• Puede producir resultados erráticos si la suposición del modelo no se cumple.

6. Deconvolución de Operador de Reflectividad de Superficie (SRME)

Principio Físico: Utiliza los registros multicanal para modelar y predecir múltiples de superficie, eliminándolos sin necesidad de información adicional del subsuelo.

 Ventajas:

•     Muy eficaz para eliminar múltiples de superficie en estudios marinos.
•     No requiere información a priori del subsuelo.

Desventajas:

• Consume mucho tiempo y recursos computacionales.
• Requiere una adecuada cobertura de datos para ser efectiva.

7. Deconvolución Adaptativa

Principio Físico: Utiliza filtros adaptativos que cambian dinámicamente en respuesta a las características cambiantes de la señal sísmica.

 Ventajas:

•     Se ajusta automáticamente a las variaciones en la señal.
•     Es eficaz en entornos complejos con propiedades variables del subsuelo.

Desventajas:

•      Mayor complejidad computacional.
•      Depende de parámetros de control que pueden requerir ajuste manual.

8. Deconvolución Q

Principio Físico: Compensa la absorción anelástica (atenuación) de la energía sísmica a medida que las ondas se propagan por el subsuelo, especialmente en medios viscoelásticos.

 Ventajas:

•     Mejora la resolución de los datos al recuperar las altas frecuencias perdidas.
•     Permite una mayor claridad en la imagen sísmica.

Desventajas:

•     Puede ser sensible a errores en la estimación del factor de calidad Q.
•     Requiere un buen conocimiento de las propiedades de atenuación del subsuelo.

9. Deconvolución estocástica

Principio Físico: Modela la señal sísmica como un proceso aleatorio, utilizando métodos estadísticos para estimar la ondícula y la serie de reflectividad.

 Ventajas:

•     Útil en situaciones donde hay poca información sobre la ondícula.
•     Puede proporcionar una estimación robusta en presencia de ruido.

Desventajas:

•     Depende de suposiciones estadísticas que pueden no ser precisas.
•     Requiere un buen ajuste de los parámetros estadísticos.

Ejempo práctico

Considere una serie reflectiva (Impedancias acústicas de los límites de reflectores), la cuál se representa por la serie de tiempo (1,0,1/2). También considera una fuente impulsiva que causa una explosión en t=0, con una amplitud de 1. La respuesta de la secuencia de reflectividad a un impulso se llamada la respuesta al impulso, la cual produce una nueva función dependiente del comportamiento entre la serie de reflectividad y la amplitud de la fuente impulsiva. Existirá tres supuestos: Se incrementará la amplitud, se mantendrá igual o disminuirá respecto al tiempo de registro.

Una unidad de tiempo después, supón que la fuente impulsiva genera una implosión con una amplitud de -1/2. 

Note que la respuesta es la secuencia de reflectividad escalada por la respuesta al impulso. Desde que una función de la fuente es considerada ser una secuencia de impulsos explosivos e implosivos, la respuesta del impulso es agregada para obtener la respuesta combinada. Este proceso es llamado superposición. 

El asterisco (*) denota convolución. La respuesta de la secuencia de reflectividad (1,0,1/2) a la ondícula fuente (1,-1/2) fue obtenida al convolucionar las dos series.

La convolución  es una operación matemática que combina dos señales y genera una tercera señal. El número de elementos de la matriz de salida c(k) es dado por ((m+n)-1), donde m y n son las longitudes de los operadores de a(i) y b(j), respectivamente. La convolución tiene la cualidad de ser conmutativa, por lo que el orden operación de sus elementos no importa, siempre obtendremos el mismo resultado. 

En el procesado sísmico, a veces se requiere una medida de similaridad o alineación en tiempo de dos trazas. La correlación es otra operación en el dominio del tiempo que es usada para obtener esas mediciones. Considera las siguientes ondículas: 

Ondícula 1: (2,1,-1,0,0)
Ondícula 2: (0,0,2,1,-1)

Aunque estas ondículas son idénticas en forma (Longitud del operador), la ondícula 2 se encuentra desfasada 2 muestras temporales respecto a la ondícula 1. A la operación que se realiza entre dos series de tiempo para medir la similaridad, se le llama crosscorrelación. A la croscorrelación que se hace a una serie de tiempo consigo misma, se le llama autocorrelación. 

Crosscorrelación de la ondícula 1 con la ondícula 2

La máxima autocorrelación ocurre en el retraso -2 (6). Esto sugiere que si la ondícula 2 estuviera desfasada dos muestra a la izquierda, estas tendrían una similaridad máxima.

Crosscorrelación de la ondícula 2 con la ondícula 1